미분 적분이 실생활에 사용되는 예를 정리하려합니다. 고등학교때 처음 접하게 되면 배경설명없이 수식계산하다가 끝나버리는 과목 중 하나인데요. 그 자체만으로도 충분히 재미있지만 배경을 알면 더 흥미롭게 공부할 수 있게될 것입니다.
뉴턴과 라이프니츠가 미적분 개발한 이유
케플러라는 천문학자가 발견한 행성의 공전에 대한 법칙은 그의 스승 티코 프라헤가 남긴 관측자료를 통한 경험에서 나온 결론이었습니다. 이를 뉴턴은 수학적으로 증명하게 되는데요. 이때 사용한 도구가 미적분입니다.
라이프니츠도 비슷한 쓰임으로 활용했는데요. 라이프니츠의 업적은 지금까지도 사용되는 미적분관련 기호의 간결함으로 더 추앙받고 있습니다.
물체의 운동의 변화에 관한 모든 곳에 사용되는 미적분
보통 시간에 따른 위치의 변화율을 속도라고 합니다. 자동차가 도로를 달리고 있을때 과속단속을 하는 두 가지 방법이 있습니다. 과속단속카메라 한 대로 자동차 속도를 잴 수 있는데요. 카메라에 달린 센서가 도로를 비추고 있을때 그 구역 안에 들어오면 짧은 시간간격으로 두 번 사진을 찍게 됩니다.
구역 끝에서 끝까지 닿았을때 시간을 기록하게 되는거죠. 구역 안의 거리 즉 위치는 센서설정에 의해 이미 일정하므로 이 일정한 거리에 두 구역에 측정된 시간을 뺀 차이를 나누게 되면 그 자동차의 속도가 측정이 되는 것입니다.
한 대의 과속단속카메라로 측정을 하게 되니 운전자들은 꾀를 내어 카메라 근처에 왔을때만 감속하는 도로 위의 무법자가 등장하게 되어 실효성이 없다는 지적도 있어왔습니다.
따라서 구간 단속이라는 개념이 생겼는데요. 2~3km간격에 자동차 번호판을 찍은 카메라 두 대를 설치해둡니다. 구간 단속에 처음 들어왔을때 자동차 사진을 한 방 찍고 구간을 나갈때 또 다시 사진을 찍는 것이죠. 이 때 사진 찍힌 시각을 서로 뺀 시간을 구간길이에 나누면 평균 속도가 나오게 됩니다. 이는 사실 평균변화율이라고 배우는 개념과 일치하는 것입니다.
적어도 몇킬로미터에 달하는 그 구간만큼은 과속을 하지 않게 되는 효과가 나오는 것이죠.
x에 대한 y의 변화율이 미분법
원래 미분법은 시간과 물체의 위치와의 관계를 이용해 순간가속도를 측정하거나 함수의 그래프를 정교하게 그릴때 사용되었습니다. 하지만 시간과 위치처럼 서로 영향을 주는 두 변수만 있으면 미분법은 어디든 적용됩니다. 다르게 표현하자면 어떤 변수가 다른 변수의 관계식으로 표현되면 가능합니다. 그에 따라 심지어는 위치에 따른 시간의 변화를 사용해도 됩니다(역함수 개념이겠지요). 그게 의미있는 해석을 할 수 있다면 제한은 없습니다.
제품 생산량이 증가함에 따라 드는 모든 돈(비용)을 한계비용 또는 한계생산비라고 합니다. 여기서 미분이 사용될 수 있는 것은 제품생산량과 비용끼리 서로 영향을 주어 관계가 형성되기 때문입니다. 생산량이 늘면 비용이 자연스레 늘게 되죠. 하지만 제품을 한 개 두 개 만들다보면 비용이 생각보다 많이 들지 않게 됩니다. 원자재의 대량구매로 인한 할인, 노동자 또는 기계의 효율성 등이 원인이 될 수 있습니다.
하지만 제품 갯수가 일정 범위를 넘어서면 점점 비용이 증가하게 된다고 합니다.
기업은 이익을 극대화하기 위해 위에 언급한대로 큰 그림을 바탕으로 한 정확한 수치를 이끌어내 세밀한 계산이 필요하게 됩니다. 이 때도 미분법을 활용하면 그 계산을 쉽게 할 수 있다는 것이 경제학의 설명입니다.
예술분야에서조차 사용되는 미적분
이를 바탕으로 좀더 깊게 들어가면 영화를 보면서도 미적분의 흔적을 엿볼 수 있습니다. 3D애니메이션에서 호수나 연못, 강물 등에서 물이 일렁이는 모습을 본 적이 있으실겁니다. 애니메이터들이 수작업으로 일일이 그린게 아니란건 쉽게 추측하실텐데요. 실제로 존재하는 강물을 찍어서 합성한 것도 아닙니다.
이러한 물, 그러니까 유체의 움직임은 미분을 좀더 심화시킨 학문인 미분방정식으로 표현가능하다고 합니다. 관심있는 분들은 나비에 스토크스 방정식을 검색해보시면 됩니다. 공대생들은 피해갈 수 없는 유체역학에 등장하는 방정식으로도 유명합니다.
디즈니애니메이션 겨울왕국과 모아나 제작에 참여한 조셉 테란 UCLA 교수의 기사를 이 글 맨 아래에 하나 링크걸어놓겠습니다.
적분은 어디에 사용되나
그렇다면 적분 그 자체는 어디에 사용될까요? MRI, CT 촬영을 생각해보겠습니다. 단층촬영을 하게 되면 우리 몸을 가르지 않아도 마치 사람이 서있는 상태에 척추기준으로 수직으로 자른 단면을 볼 수 있게 해주는데요. 머리끝부터 발끝까지 단층촬영을 한 결과를 합성하면 우리 몸의 내부을 입체적으로 표현할 수 있습니다.
이는 마치 무를 원판형태로 여러겹자르고 무채 썰때 다시 겹치면 입체적인 모양이 나오는 것에 비견할 수 있는데요.
사실 저 단층촬영하는 과정에서 미분도 쓰입니다. 180도로 몸의 표면을 여러 개의 방사선으로 투과시켜 그 반대편 나온 정도를 측정한 투과율 수치를 통해 수학적과정을 거쳐 실제 단면의 모양을 구현하는데 미분이 사용됩니다.
고등학교까지의 수준으로는 모두 파악하기 힘든 실생활 예
위에 언급되어있는 것처럼 실생활에 쓰이는 미적분의 예는 이미 응용이 고도화되어 그 개념이 사용되었는지조차 모를 정도로 자연스럽게 스며들어있습니다. 고등학교 교과서에서 도함수의 정의부터 배우기 때문에 상당히 동떨어져있지요.
따라서 이거 배워서 어디다 써먹어?라는 생각이 학생입장에선 자연스럽게 생기게 되는 것입니다. 분명한 것은 이런 기초적인 것을 바탕으로 실생활에 응용된 미적분의 예를 이해하는 바탕이 된다는 것입니다.
더 나아가 두 변수와의 관계가 파악되고 그게 의미가 있다면 미적분을 통해 스스로 개발, 발명할 수도 있게 됩니다. 물론 고등학교, 대학교까지 미적분과정을 충실히 이행했을때 가능한 이야기 이겠죠.
지금까지 미적분이 실생활에 사용되는 예에 대해 알아보았습니다.
참고자료
조셉 테란 교수의 디즈니 애니메이션 모아나 관련 기사
UCLA mathematicians bring ocean to life for Disney’s ‘Moana’
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